P.A – Interpolação Aritmética
Visão Geral
A interpolação aritmética é uma técnica utilizada para encontrar termos desconhecidos em uma progressão aritmética (P.A.) conhecendo alguns termos da sequência.
Resumo
Para entender melhor o conceito, vamos considerar uma P.A. com primeiro termo a1 e razão r. O termo geral da sequência pode ser escrito como:
an = a1 + (n – 1)r
Suponha que queremos encontrar o termo desconhecido de posição k. Podemos utilizar a interpolação aritmética para descobrir esse valor utilizando os termos conhecidos a e b, onde a é o termo anterior ao termo desconhecido e b é o termo posterior, ou seja:
an = a + [(n – k)b – (n – k)a]/(b – a)
Essa fórmula é derivada da ideia de que a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante e igual à razão r.
Assim, podemos encontrar o valor desconhecido utilizando uma média ponderada entre os termos conhecidos a e b, onde o peso de cada termo é proporcional à distância entre o termo desconhecido e cada um dos termos conhecidos.
A interpolação aritmética é uma técnica útil em diversas aplicações, como no cálculo de juros compostos, na análise de dados financeiros e em problemas envolvendo progressões aritméticas em geral.
Por exemplo, suponha que uma pessoa faça depósitos mensais em uma conta poupança com juros compostos.
Sabendo o valor do primeiro depósito e o valor do depósito após um certo número de meses, podemos utilizar a interpolação aritmética para descobrir o valor dos depósitos intermediários e calcular o total acumulado na conta ao longo do tempo.