Inequações Quociente
Visão Geral
Inequações quociente são desigualdades que envolvem a divisão de duas ou mais expressões matemáticas.
Resumo
Por exemplo:
(x – 2)/(x + 1) > 0
(y + 3)/(y – 4) ≤ 2
Para resolver inequações quociente, podemos utilizar a técnica do sinal, que consiste em analisar o sinal de cada expressão e determinar os intervalos em que o quociente é positivo, negativo ou nulo. Para isso, podemos utilizar a tabela de sinais ou a representação gráfica.
Por exemplo, considere a inequação:
(x – 2)/(x + 1) > 0
Podemos analisar o sinal de cada expressão:
x – 2 > 0 se x > 2
x – 2 < 0 se x < 2
x + 1 > 0 se x > -1
x + 1 < 0 se x < -1
Para que o quociente seja positivo, é necessário que as expressões no numerador e no denominador tenham o mesmo sinal.
Portanto, a solução da inequação é dada pela união dos intervalos em que ambas as expressões são positivas ou ambas são negativas, excluindo o ponto em que o denominador é igual a zero. Temos:
x < -1 ou x > 2
Já no caso da inequação:
(y + 3)/(y – 4) ≤ 2
Podemos analisar o sinal de cada expressão:
y + 3 > 0 se y > -3
y + 3 < 0 se y < -3
y - 4 > 0 se y > 4
y – 4 < 0 se y < 4
Para que o quociente seja menor ou igual a 2, é necessário que a expressão no numerador seja menor ou igual a 2 vezes a expressão no denominador.
Portanto, a solução da inequação é dada pela interseção dos intervalos em que a expressão no numerador é menor ou igual a 2 vezes a expressão no denominador. Temos:
-3 ≤ y ≤ 5
As inequações quociente são importantes em diversas áreas da matemática, como na análise de limites e na resolução de problemas de otimização.
Por exemplo, um engenheiro pode utilizar inequações quociente para determinar a faixa de valores de uma variável que garante a estabilidade de um sistema mecânico, levando em conta diversos fatores como a massa e a geometria dos componentes.