Fórmulas de Transformação de Soma em Produto
Visão Geral
A multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é um processo bastante simples e útil, uma vez que permite calcular produtos de números complexos sem a necessidade de realizar as operações de multiplicação de números reais e imaginários separadamente.
Resumo
Para multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1) e z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2), basta multiplicar suas magnitudes e somar seus ângulos, ou seja,
z1z2 = r1r2[(cosθ1cosθ2 – sinθ1sinθ2) + i (cosθ1sinθ2 + sinθ1cosθ2)]
Simplificando essa expressão, temos que:
z1z2 = r1r2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))
Portanto, o produto de dois números complexos na forma trigonométrica resulta em um número complexo na mesma forma, cuja magnitude é o produto das magnitudes dos números complexos originais, e cujo ângulo é a soma dos ângulos dos números complexos originais.
A multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é muito utilizada em aplicações como a representação de movimentos periódicos, análise de circuitos elétricos e resolução de problemas trigonométricos complexos.
Um exemplo prático de aplicação da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é a representação do movimento de um ponteiro de relógio.
Suponha que o ponteiro de um relógio se mova em torno de um círculo de raio r com velocidade angular constante.
Então, a posição do ponteiro em qualquer instante pode ser representada por um número complexo na forma trigonométrica, onde a magnitude é r e o ângulo representa a posição do ponteiro no círculo.
Seja z1 o número complexo que representa a posição do ponteiro no início de uma hora e z2 o número complexo que representa a posição do ponteiro após n minutos.
O produto z1z2 representa a posição do ponteiro após n minutos a partir do início da hora.