Cofator e Teorema de Laplace
Visão Geral
O cofator é um número associado a cada elemento de uma matriz quadrada e é obtido a partir dos menores complementares, que são matrizes formadas pela eliminação da linha e coluna do elemento em questão.
Resumo
O teorema de Laplace é uma maneira de calcular o determinante de uma matriz quadrada utilizando seus cofatores.
Para isso, é escolhida uma linha ou coluna da matriz e, para cada elemento desta linha ou coluna, calcula-se o produto do elemento pelo seu cofator e pelo fator de alternância (+1 ou -1). A soma destes produtos é o determinante da matriz.
Por exemplo, considerando a matriz A = [2 1 4; 0 -1 2; 1 0 3], podemos calcular o determinante utilizando o teorema de Laplace escolhendo a primeira linha:
det(A) = 2 * C11 – 1 * C12 + 4 * C13
onde C11, C12 e C13 são os cofatores dos elementos da primeira linha.
O cofator de A11 é o determinante da matriz formada pelos elementos restantes da matriz A, ou seja, -1 * ( -1 * 2 – 2 * 0 ) = 2.
O cofator de A12 é o determinante da matriz formada pelos elementos restantes da matriz A, multiplicado por -1, ou seja, -1 * ( 0 * 3 – 2 * 4 ) = 8. O cofator de A13 é o determinante da matriz formada pelos elementos restantes da matriz A, ou seja, 1 * ( 0 * 1 – (-1) * 4 ) = 4.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
det(A) = 2 * 2 – 1 * 8 + 4 * 4 = 18.
Portanto, o determinante da matriz A é 18.