Divisão na Forma Trigonométrica
Visão Geral
Para realizar a divisão de dois números complexos na forma trigonométrica, é necessário fazer uso da propriedade da divisão de números complexos na forma retangular, que foi apresentada anteriormente, e também utilizar a forma trigonométrica do conjugado de um número complexo.
Resumo
Sejam z1 = r1(cosθ1 + i sinθ1) e z2 = r2(cosθ2 + i sinθ2) dois números complexos na forma trigonométrica. A divisão de z1 por z2 é dada por:
z1/z2 = (r1/cosθ1 + i sinθ1)/(r2/cosθ2 + i sinθ2)
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de z2, que é z2* = r2(cosθ2 – i sinθ2), obtemos:
z1/z2 = (r1/cosθ1 + i sinθ1)/(r2/cosθ2 + i sinθ2) * (r2/cosθ2 – i sinθ2)/(r2/cosθ2 – i sinθ2)
z1/z2 = [r1 r2(cosθ1 – θ2 + i sin(θ1 – θ2))] / [r2^2(cos^2θ2 + sin^2θ2)]
Simplificando a expressão, temos:
z1/z2 = [r1/r2(cos(θ1 – θ2) + i sin(θ1 – θ2))]
Dessa forma, a divisão de dois números complexos na forma trigonométrica resulta em um número complexo cuja magnitude é dada pela divisão das magnitudes dos números complexos originais, e cujo ângulo é dado pela diferença entre os ângulos dos números complexos originais.
A divisão de números complexos na forma trigonométrica é útil em muitas aplicações, como no cálculo de impedâncias em circuitos elétricos, na resolução de problemas trigonométricos complexos e na análise de sistemas que envolvem ondas, como ondas sonoras e luminosas.
Um exemplo prático de aplicação da divisão de números complexos na forma trigonométrica é o cálculo da diferença de fase entre duas ondas.
Se duas ondas sonoras ou luminosas são representadas por números complexos na forma trigonométrica, a divisão entre esses números complexos resulta em um número complexo cujo ângulo representa a diferença de fase entre as duas ondas.
Isso é importante em muitas aplicações, como em acústica e em engenharia de telecomunicações.