Potenciação na Forma Trigonométrica
Visão Geral
A raiz n-ésima de um número complexo z pode ser encontrada utilizando a forma trigonométrica de z. Se z = r(cos θ + i sin θ) é a forma trigonométrica de z
Resumo
Então as raízes n-ésimas de z são dadas por:
z^(1/n) = r^(1/n) [cos((θ + 2πk) / n) + i sin((θ + 2πk) / n)]
onde k = 0, 1, 2, …, n-1.
Observe que existem n soluções diferentes para a raiz n-ésima de z, correspondentes aos valores de k de 0 a n-1. Isso se deve ao fato de que a equação z^n = w tem n soluções distintas para w ≠ 0.
A importância de estudar a raiz n-ésima de números complexos está em sua aplicação em diversos campos da Matemática, Física e Engenharia.
Por exemplo, na área de engenharia elétrica, a raiz quadrada de números complexos é usada para encontrar a impedância de um circuito, enquanto que a raiz cúbica pode ser utilizada em sistemas de controle para a determinação de polos e zeros.
Um exemplo prático de aplicação da raiz n-ésima de números complexos é a resolução de equações do tipo z^n = w.
Considere, por exemplo, a equação z^3 = 1 + i. Podemos escrever 1 + i na forma trigonométrica, que é dada por r(cos θ + i sin θ), onde r = √2 e θ = π/4.
Em seguida, podemos encontrar as raízes cúbicas de 1 + i aplicando a fórmula acima:
z^(1/3) = √2^(1/6) [cos((π/4 + 2πk) / 3) + i sin((π/4 + 2πk) / 3)]
onde k = 0, 1, 2.
Assim, as três soluções da equação são:
z_1 = √2^(1/6) [cos(π/12) + i sin(π/12)] ≈ 1,092 + 0,268i
z_2 = √2^(1/6) [cos(5π/12) + i sin(5π/12)] ≈ -0,058 + 1,183i
z_3 = √2^(1/6) [cos(9π/12) + i sin(9π/12)] ≈ -1,034 – 0,911i