Matriz de Vandermonde

Visão Geral

A matriz de Vandermonde é uma matriz quadrada com seus elementos dispostos de maneira a seguir um padrão específico. Ela é utilizada em diversos ramos da matemática, como na aproximação de funções, na teoria dos números e na geometria algébrica.

Resumo

Uma matriz de Vandermonde de ordem n é uma matriz quadrada nxn onde a primeira linha é dada pelos valores de uma sequência x1, x2, …, xn, a segunda linha pelos valores desses números elevados à primeira potência, a terceira linha pelos valores desses números elevados à segunda potência, e assim por diante. Formalmente, temos:

| 1 x1 x1^2 … x1^(n-1) |
V_n(x1, …, xn) = | 1 x2 x2^2 … x2^(n-1) |
| . . . . |
| . . . . |
| . . . . |
| 1 xn xn^2 … xn^(n-1) |

A matriz de Vandermonde é invertível se e somente se nenhum dos valores x1, x2, …, xn são iguais. A sua determinante é dada por:

det(V_n(x1, …, xn)) = ∏(i

onde ∏(i

A matriz de Vandermonde também é útil para interpolação polinomial, ou seja, para encontrar o polinômio de grau n-1 que passa pelos pontos (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn). A solução é encontrada resolvendo o sistema linear dado por:

V_n(x1, …, xn) . a = y

onde a é um vetor-coluna de coeficientes do polinômio, e y é um vetor-coluna dos valores y1, y2, …, yn.

Nota & Anota